Question

設O為原點，圓x²+y²=8內有一點P（1，2），AB和CD為過點P的弦．
（1）當弦AB被點P平分時，求直線AB的方程；
（2）若，求直線AB的斜率；
（3）若AB⊥CD，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，OP⊥AB，結合直線垂直的條件可求K_AB，即可求解
（2）①若AB的斜率不存在，可求出設A，B，進而可求
②若直線AB的斜率存在，設直線AB為y-2=k（x-1），聯立直線與圓的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入=x₁x₂+y₁y₂，結合已知可求k
（3）設∠OPC=θ，則點O到直線AB的距離d₁=|OP|sinθ，|AB|=2=，O到CD的距離d₂=|OP|cosθ=，|CD|=2，代入四邊形ABCD的面積S=，結合三角函數可求最值
解答：解：（1）若弦AB被P平分，則OP⊥AB
∵K_AP=2
∴K_AB=-
∴直線AB方程為y-2=-（x-1）即x+2y+5=0
（2）①若AB的斜率不存在，則不妨設A（1，），B（1，-）
∴=-6不合題意，舍去
②若直線AB的斜率存在，設直線AB為y-2=k（x-1）
由可得（1+k²）x²+（4k-2k²）x+k²-4k-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+[kx₁+（2-k）][kx₂+（2-k）]
=（1+k²）x₁x₂+k（2-k）（x₁+x₂）+（2-k）²
=k²-4k-4=1
∴7k²+8k+1=0
解可得，或k=-1
故直線AB的斜率為-1或-
（3）設∠OPC=θ，則點O到直線AB的距離d₁=|OP|sinθ=
∴|AB|=2=
同理O到CD的距離d₂=|OP|cosθ=
∴|CD|=2=
∴四邊形ABCD的面積S==
=2
=2
∴S_max=11，
點評：本題主要考查了直線位置關系的應用，直線與圓相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，三角函數在求解最值中的應用．