Question

設O為原點，圓x²+y²=8內有一點P（1，2），AB和CD為過點P的弦．
（1）當弦AB被點P平分時，求直線AB的方程；
（2）若

OA

•

OB

=1，求直線AB的斜率；
（3）若AB⊥CD，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，OP⊥AB，結合直線垂直的條件可求K_AB，即可求解
（2）①若AB的斜率不存在，可求出設A，B，進而可求

OA

•

OB

②若直線AB的斜率存在，設直線AB為y-2=k（x-1），聯立直線與圓的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，結合已知可求k
（3）設∠OPC=θ，則點O到直線AB的距離d₁=|OP|sinθ，|AB|=2

r2-d12

=2

8-5sin2θ

，O到CD的距離d₂=|OP|cosθ=

5

cosθ，|CD|=2

r2-d22

，代入四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AB||CD|，結合三角函數可求最值

解答：解：（1）若弦AB被P平分，則OP⊥AB
∵K_AP=2
∴K_AB=-

1

2

∴直線AB方程為y-2=-

1

2

（x-1）即x+2y+5=0
（2）①若AB的斜率不存在，則不妨設A（1，

7

），B（1，-

7

）
∴

OA

•

OB

=-6不合題意，舍去
②若直線AB的斜率存在，設直線AB為y-2=k（x-1）
由

y=kx+2-k x2+y2=8

可得（1+k²）x²+（4k-2k²）x+k²-4k-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

2k2-4k

1+k2

，x₁x₂=

k2-4k-4

1+k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+[kx₁+（2-k）][kx₂+（2-k）]
=（1+k²）x₁x₂+k（2-k）（x₁+x₂）+（2-k）²
=k²-4k-4+

(2k-k2)(2k2-4k)

1+k2

+(2-k)2=1
∴7k²+8k+1=0
解可得，k=-

1

7

或k=-1
故直線AB的斜率為-1或-

1

7

（3）設∠OPC=θ，則點O到直線AB的距離d₁=|OP|sinθ=

5

sinθ
∴|AB|=2

r2-d12

=2

8-5sin2θ

同理O到CD的距離d₂=|OP|cosθ=

5

cosθ
∴|CD|=2

r2-d22

=2

8-5cos2θ

∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AB||CD|=2

(8-5sin2θ)(8-5cos2θ)

=2

24+25sin2θcos2θ

=2

24+ 25 4 sin22θ

∴S_max=11，Smin=4

6

點評：本題主要考查了直線位置關系的應用，直線與圓相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，三角函數在求解最值中的應用．