Question

已知m＞1，直線l：x-my-=0，橢圓C：+y²=1，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
（I）當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F₂時(shí)，求直線l的方程；
（II）當(dāng)直線l與橢圓C相離、相交時(shí)，求m的取值范圍；
（III）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H．若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出右焦點(diǎn)F₂的坐標(biāo)，代入直線l的方程，即可求得m值，從而得到l的方程，注意m范圍；
（II）直線與橢圓方程聯(lián)立消去x，得y的二次方程，由△＜0得相離時(shí)m的范圍，由△＞0得相交時(shí)m的范圍；
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根據(jù)（II）由判別式大于0求得m的范圍，且根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據(jù)，，可知G（，），H（，），表示出|GH|²，設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則可表示出M的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表達(dá)式代入求得m的范圍，最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）解：因?yàn)橹本�l：x-my-=0，經(jīng)過(guò)F₂（，0），
所以-=0，得m²=2，
又因?yàn)閙＞1，所以m=，
故直線l的方程為x-y-1=0．
（II）由消去x得2y²+my+-1=0，
由△=m²-8（-1）=-m²+8＜0，得m＜-2，或m＞2，由△＞0得-2＜m＜2，
所以當(dāng)直線與橢圓相離時(shí)m的取值范圍是m＜-2，或m＞2；當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)m的取值范圍是-2＜m＜2；
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（II）知，△=m²-8（-1）=-m²+8＞0，得m²＜8，且有y₁+y₂=-，y₁y₂=．
由于F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），故O為F₁F₂的中點(diǎn)，
由，，可知G（，），H（，）
|GH|²=+，
設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M（，），
由題意可知2|MO|＜|GH|，即4[]＜+，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+）（my₂+）+y₁y₂=（m²+1）（-），
所以（-）＜0，即m²＜4，
又因?yàn)閙＞1且△＞0，
所以1＜m＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．