Question

已知m＞1，直線l：x-my-

m

2

2=0，橢圓C：

x2

m2

+y2=1，F₁，F₂分別為橢圓C的左右焦點．設直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G，H，若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線與橢圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，由△＞0可得m滿足的條件，可得根與系數的關系，由

AG

=2

GO

，

BH

=2

HO

，可知G(

x1

3

，

y1

3

)，(

x2

3

，

y2

?3

)，|GH|2=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

?設M是GH的中點，則M(

x1+x2

6

，

y1+y2

6

)，再利用2|MO|＜|GH|，即可得出m的取值范圍．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+ m2 2 x2 m2 +y2=1

消去x得2y2+my+

m2

4

-1=0，
則由△=m2-8(

m2

4

-1)=-m2+8＞0，解得m²＜8；
∴y1+y2=-

m

2

，y1y2=

m2

8

-

1

2

．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O為F₁F₂的中點，
由

AG

=2

GO

，

BH

=2

HO

，可知G(

x1

3

，

y1

3

)，(

x2

3

，

y2

?3

)，|GH|2=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

?
設M是GH的中點，則M(

x1+x2

6

，

y1+y2

6

)，
由題意可知2|MO|＜|GH|，即4[(

x1+x2

6

)2+(

y1+y2

6

)2]＜

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而x1x2+y1y2=(my1+

m2

2

)(my2+

m2

2

)+y1y2=(m2+1)(

m2

8

-

1

2

)，
∴

m2

8

-

1

2

＜0，即m²＜4，
又因為m＞1，且△＞0，∴1＜m＜2，
∴m的取值范圍是（1，2）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、三角形的重心定理、中點坐標公式、向量的運算、點與圓的位置關系、兩點間的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．