Question

坐標系與參數方程選講．
已知曲線C：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數）．
（1）將C參數方程化為普通方程；
（2）若把C上各點的坐標經過伸縮變換

x′=3x y′=2y

后得到曲線C^′，求曲線C^′上任意一點到兩坐標軸距離之積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將兩式平方相加，消去參數，可得C的普通方程；
（2）C經過伸縮變換

x′=3x y′=2y

后，可得

x′=3cosθ y′=2sinθ

（θ為參數），從而可求曲線C^′上任意一點到兩坐標軸距離之積的最大值．

解答：解：（1）將兩式平方相加，消去參數，可得C的普通方程為x²+y²=1．
（2）C經過伸縮變換

x′=3x y′=2y

后，可得

x′=3cosθ y′=2sinθ

（θ為參數），
∴|x'y'|=|6sinθ•cosθ|=|3sin2θ|≤3，
∴曲線C^′上任意一點到兩坐標軸距離之積的最大值為3．

點評：本題重點考查參數方程化為普通方程，考查伸縮變換，考查三角函數的值域，屬于基礎題．