Question

已知可導函數f（x）的導函數為g（x），且滿足：①[g（x）-1]（x-2）＞0；②f（2-x）-f（x）=2-2x，記a=f（4）-3，b=f（e）-e+1，c=f（-1）+2，則a，b，c的大小順序為（　　）

A、a＞b＞c

B、b＞a＞c

C、b＞c＞a

D、a＞c＞b

Answer 1

分析：比較a，b，c的大小，想到利用函數的單調性，由b=f（e）-e+1和[g（x）-1]（x-2）＞0想到構造函數h（x）=f（x）-x+1，求導，根據[g（x）-1]（x-2）＞0可判斷函數h（x）的單調性，并對a=f（4）-3、c=f（-1）+2進行等價變形為a=f（4）-4+1、c=f（3）-3+1，根據函數的單調性即可得出a，b，c的大小．

解答：解：∵f（2-x）-f（x）=2-2x是減函數，
根據復合函數的單調性知函數f（x）增函數，
令h（x）=f（x）-x+1
則h′（x）=f′（x）-1=g（x）-1，
∵[g（x）-1]（x-2）＞0
∴當x＞1時，g（x）-1＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增；
而a=f（4）-3=a=f（4）-4+1
c=f（-1）+2=f（3）+2-2×3+2=f（3）-2=f（3）-3+1
∴f（4）-4+1＞f（3）-3+1＞f（e）-e+1；即a＞c＞b，
故選D．

點評：此題是個難題．考查利用導數研究函數的單調性，體現了函數的思想，綜合性強．同時也考查了學生觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．