Question

已知可導函數f（x）為定義域上的奇函數，f（1）=1，f（2）=2．當x＞0時，有3f（x）-x•f'（x）＞1，則f（-

3

2

）的取值范圍為（　　）

• A．（

  27

  32

  ，

  27

  8

  ）
• B．（-

  27

  8

  ，-

  27

  32

  ）
• C．（-8，-1）
• D．（4，8）

Answer 1

分析：為了得到3f（x）-x•f'（x）的原函數，構造函數g（x）=

x3

f(x)

，g'（x）=

x2[3f(x)-xf′(x)]

f2(x)

＞

x2

f2(x)

＞0，則g（x）在（0，+∞）上是增函數，因此g（1）＜g（

3

2

）＜g（2），從而得到f（

3

2

）的范圍，f（x）又是奇函數，那么f（-

3

2

）的取值范圍自然就得出來了．

解答：解：令g（x）=

x3

f(x)

，
當x＞0時，g'（x）=

x2[3f(x)-xf′(x)]

f2(x)

＞

x2

f2(x)

＞0，所以g（x）在x＞0上單調增；
g（1）=

13

f(1)

=1，g（2）=

23

f(2)

=4，
∵1＜

3

2

＜2，∴g（1）＜g（

3

2

）＜g（2），即1＜g（

3

2

）＜4．
所以，1＜

( 3 2 )3

f( 3 2 )

＜4，∴

27

32

＜f（

3

2

）＜

27

8

．
因為f（x）是奇函數，所以f（-

3

2

）=-f（

3

2

），f（

3

2

）=-f（-

3

2

），代入上式得：

27

32

＜-f（-

3

2

）＜

27

8

．
所以：f（-

3

2

）∈（-

27

8

，-

27

32

）
故選B．

點評：本題主要考查導數的運算和奇偶性與單調性的綜合，解答的關鍵是構造函數g（x）=

x3

f(x)

，利用導數研究其單調性．屬于難題．