Question

【題目】已知圓過點，且與圓 ()關于軸對稱．

(I)求圓的方程；

(II)若有相互垂直的兩條直線，都過點，且被圓所截得弦長分別是，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)28.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可設圓的方程為，結合圓過點計算可得圓的方程.

(Ⅱ)解法一：由題意結合幾何關系可知四邊形為矩形，結合勾股定理計算可得；

解法二：分類討論：①當一條直線斜率不存在，另一條斜率為0時， 28

②當一條直線斜率存在，結合弦長公式計算可得=28，即.

試題解析：

（I）由題意設圓的方程

由題意可知圓C的圓心為

則點關于軸對稱的點為，∴圓的方程為

將點代入圓的方程得，∴圓的方程

（II）解法一：設被圓所截得弦得中點分別為,

根據圓的性質得四邊形為矩形

所以 即 化簡得

解法二：①當一條直線斜率不存在，另一條斜率為0時， =28

②當一條直線斜率存在，設為

將點到的距離的平方為，

同理點到的距離的平方為，

=28

由①②可得