Question

【題目】已知函數φ(x)＝，a為正常數．

(Ⅰ)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝4，討論函數f(x)的單調性；

(Ⅱ)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且對任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2都有

(ⅰ)求實數a的取值范圍；

(ⅱ)求證：當x∈(0，2]時，

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) (ⅰ) ； (ⅱ)見解析.

【解析】試題分析：（1）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）>0求得的區間是單調增區間，f′（x）<0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（2）設h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數．(ⅰ)下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0<x<1時，利用導數研究函數的單調性從及最值，即可求得求a的取值范圍．

(ⅱ) h(x)在(0，2]上是減函數，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2，由a的范圍放縮得：g(x)≥ln 2＋＋2－x，進而構造函數T(x)＝ln 2＋＋2－x，利用單調性即可證得.

試題解析：

(Ⅰ)當a＝4時，f(x)＝ln x＋，定義域為(0，＋∞)，

又f′(x)＝－＝≥0，

所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

(Ⅱ)因為<－1，

所以＋1<0， <0 .

設h(x)＝g(x)＋x，依題意，h(x)在(0，2]上是減函數，h′(x)≤0恒成立．

(ⅰ)①當1≤x≤2時，h(x)＝ln x＋＋x，h′(x)＝－＋1≤0.

從而，a≥＋(x＋1)2＝x2＋3x＋＋3對x∈[1，2]恒成立．

設m(x)＝x2＋3x＋＋3，x∈[1，2]，則m′(x)＝2x＋3－>0.

所以m(x)在[1，2]上是增函數，則當x＝2時，m(x)有最大值為，所以a≥.

②當0<x<1時，h(x)＝－ln x＋＋x，h′(x)＝－－＋1≤0.

從而，a≥－＋(x＋1)2＝x2＋x－－1.

設t(x)＝x2＋x－－1，則t′(x)＝2x＋1＋>0，

所以t(x)在(0，1)上是增函數．所以t(x)<t(1)＝0，所以a≥0.

綜合①②，又因為h(x)在(0，2]上圖形是連續不斷的，所以a≥.

(ⅱ)因為h(x)在(0，2]上是減函數，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2.

由(ⅰ)得，a≥，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2≥ln 2＋＋2，

∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2，當且僅當x＝2時等號成立．

從而g(x)≥ln 2＋＋2－x.

令T(x)＝ln 2＋＋2－x，則T(x)在(0，2]上單調遞減．

∴T(x)≥T(2)＝ln 2＋.

∴T(x)≥ln 2＋.