Question

【題目】如圖在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1，△AOC可以通過△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且OB⊥OC，點D為斜邊AB的中點.

（1）求異面直線OB與CD所成角的余弦值；

（2）求直線OB與平面COD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系, 求出異面直線與的坐標表示,運用公式求出其夾角的余弦值.

（2）先求出平面的法向量,然后運用公式求出直線與平面所成角的正弦值.

（1）以O為原點,OC為x軸,OB為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標系,

O（0,0,0）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,A（0,0,2）,D（0,,1）,

（0,1,0）,（﹣1,）,

設異面直線OB與CD所成角為θ,

則cosθ,

∴異面直線OB與CD所成角的余弦值為.

（2）（0,1,0）,（1,0,0）,（0,,1）,

設平面COD的法向量（x,y,z）,

則,取,得（0,2,﹣1）,

設直線OB與平面COD所成角為θ,

則直線OB與平面COD所成角的正弦值為:

sinθ.