Question

設各項均為正數的等比數列中，，.設.
(1)求數列的通項公式；   
(2)若，，求證：；

Answer 1

(1) b_n＝n. (2)“錯位相減法”求和，“放縮法”證明。

試題分析：(1)設數列{a_n}的公比為q(q＞0)，
由題意有，                       2分
∴a₁＝q＝2，                               4分
∴a_n＝2ⁿ， ∴b_n＝n.                             6分
(2)∵c₁＝1＜3，c_n＋1－c_n＝，                        8分
當n≥2時，c_n＝(c_n－c_n－1)＋(c_n－1－c_n－2)＋…＋(c₂－c₁)＋c₁＝1＋＋＋…＋，
∴c_n＝＋＋＋…＋.                         10分
相減整理得：c_n＝1＋1＋＋…＋－＝3－＜3，
故c_n＜3.                                 12分
點評：中檔題，本題綜合考查等比數列的基礎知識，本解答從確定通項公式入手，明確了所研究數列的特征。“分組求和法”、“錯位相消法”、“裂項相消法”是高考常常考到數列求和方法。