Question

【題目】已知橢圓過點，其左、右兩個焦點分別為，，短軸的一個端點為，且.

（1）求的平分線所在的直線方程；

（2）設直線：與橢圓交于不同的兩點，.且為坐標原點，若，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓過點，且得到，從而解得橢圓的方程，設角平分線與軸交于，易得，，利用角平分線定理，可得.由點寫出的方程.

（2）設，.，與橢圓方程聯立，根據判別式大于零和求得k的范圍，再由求解.

（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為.

設角平分線與軸交于，

因為，，

所以，，

所以，

所以，解得.

因為直線的斜率，

所以直線的方程為，即.

（2）設，.則，消去y得：

∴，

由，，，

得.①

由，得，所以.

又.

∴，

，

所以.②

綜合①②可知.

，

令，則，，

所以，

因為在上單調遞增.

所以在上單調遞減，

當，即時，的面積最大，最大值為.