Question

在中，角的對邊分別為，且成等差數列
（1）若，求的面積
（2）若成等比數列，試判斷的形狀

Answer 1

（1）（2）等邊三角形．

解析試題分析：（1）根據A、B、C成等差數列，結合A+B+C=π算出B=，再由正弦定理得：．根據b＞c得C為銳角，得到C=，從而A=π-B-C=，△ABC是直角三角形，由此不難求出它的面積.
（2）根據正弦定理，結合題意得b²=ac，根據B=，利用余弦定理，得b²=a²+c²-ac，從而得到a²+c²-ac=ac，整理得得（a-c）²=0，由此即可得到△ABC為等邊三角形．
試題解析：∵A、B、C成等差數列，可得2B=A+C．
∴結合A+B+C=π，可得B=．
（1）∵，
∴由正弦定理得，
∵b＞c，可得B＞C，∴C為銳角，得C=，從而A=π-B-C=．
因此，△ABC的面積為S=bc=××2=．
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比數列，即sin²B=sinAsinC．
∴由正弦定理，得b²=ac
又∵根據余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，整理得（a-c）²=0，可得a=c
∵B=，∴A=C=，可得△ABC為等邊三角形．
考點：三角形內角和定理；利用正、余弦定理；三角形的形狀判斷，等差等比數列的性質.