Question

例1：試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？
（1）f（x）=

x2

，g（x）=

3	x3

；
（2）f（x）=

|x|

x

，g（x）=

1      x≥0 -1    x＜0

（3）f（x）=

2n+1	x2n+1

，g（x）=（

2n-1	x

）^2n-1（n∈N^*）；
（4）f（x）=

x

x+1

，g（x）=

x2+x

；
（5）f（x）=x²-2x-1，g（t）=t²-2t-1．

Answer 1

分析：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)．若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然．

解答：解：（1）由于f（x）=

x2

=|x|，g（x）=

3	x3

=x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)．
（2）由于函數(shù)f（x）=

|x|

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=

1      x≥0 -1    x＜0

的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)．
（3）由于當(dāng)n∈N^*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴f（x）=

2n+1	x2n+1

=x，g（x）=（

2n-1	x

）^2n-1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)．
（4）由于函數(shù)f（x）=

x

x+1

的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g（x）=

x2+x

的定義域?yàn)閧x|x≤-1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)．
（5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)．
故（3）（5）都表示同一函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：（1）第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透．要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x²+1，f（t）=t²+1，f（u+1）=（u+1）²+1都可視為同一函數(shù)．
（2）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)．