Question

平移f （x）=sin（ωx+?）（ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

），給出下列4個論斷：（1）圖象關于x=

π

12

對稱（2）圖象關于點（

π

3

，0）對稱      （3）最小正周期是π      （4）在[-

π

6

，0]上是增函數以其中兩個論斷作為條件，余下論斷為結論，寫出你認為正確的兩個命題：（1）

①②⇒③④

．（2）

①③⇒②④

．

Answer 1

分析：（1）由①得ω×

π

12

+∅=kπ+

π

2

； 再由②得ω

π

3

+∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范圍，求得ω、∅的值，從而得函數解析式，從而求出周期和單調增區間，可得③④正確，故得①②⇒③④．
（2）由③可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得  2×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z，結合∅的范圍可得φ=

π

3

，故函數f（x）=sin（2x+

π

3

），由此推出②④成立．

解答：解：（1）：①②⇒③④．
由①得ω×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．  由②得ω

π

3

+∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

，故有ω=2，∅=

π

3

．
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，其周期為π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

．
故函數f（x）的增區間為[kπ-

5π

12

， kπ+

π

12

]，k∈z．
∵[-

π

6

，0]⊆[-

5π

12

，

π

12

]，
∴f（x）在區間[-

π

6

，0]上是增函數，
故可得 ①②⇒③④．
（2）：還可①③⇒②④．
由③它的周期為π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得  2×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．再由 -

π

2

＜?＜

π

2

可得φ=

π

3

，故函數f（x）=sin（2x+

π

3

）．
顯然它的圖象關于點（

π

3

，0）對稱，由（1）可得 f（x）在區間[-

π

6

，0]上是增函數．
故可得 ①③⇒②④．
故答案為 （1）：①②⇒③④；  （2）：①③⇒②④．

點評：本題主要考查三角函數的周期性，單調性，對稱性，以及學生構造命題拓展問題的能力，屬中檔題．