【題目】已知函數
．
(1)若
，證明：當
；
(2)設
，若函數
上有2個不同的零點，求實數
的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
(1) 當a=1時.
. 
明確單調性求出最大值即可；(2)
，討論a的范圍，易知當
時，
沒有零；當
時，研究函數
的單調性，明確圖象與x軸的交點情況即可.
（1）當a=1時..
.
因為
，所以
，
所以
在
時單調遞減，
所以
，即
.
（2）法一：
（i）當時，沒有零；
（ii）當時，
，
當
時，
；當
時，
.
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增.
故
是在
上的最小值
①若
，即
時，在
上沒有零點；
②若
，即
時，在上只有1個零點；
③若
，即
時，由于
，所以在（0，2）上有1個零點，
由（1）知，當時，
，
因為
，
所以
.
故在（2，4a）上有1個零點，因此在上有2個不同的零點。
綜上，在上有2個不同的零點時，a的取值范圍是.
法二：因為，
所以在上零點的個數即為方程
在上根的個數。
令
.
則
，
令
得x=2.
當時，
，當時，
，
所以當時，
單調遞增，
當時，單調遞減，
所以在上的最大值為
，
由（1）知，當時，
，
即當時，
因為當x無限增大時，
→0，所以當x無限增大時，
→0，
又因為
，所以當且僅當
時，
函數在上的圖象與直線
恰好有2個不同的交點，
即當且僅當a>一時，函數h（x）在（0，+oo）上有2個不同的零點，
故在上有2個不同的零點時，a的取值范圍是
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取
名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| ① |
|
第3組 |
| 30 | ② |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
（1）請先求出頻率分布表中
位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第
組中用分層抽樣抽取名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；
（3）在（2）的前提下，學校決定在
名學生中隨機抽取
名學生接受
考官進行面試，求：第
組至少有一名學生被考官面試的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的廣告費支出x（單位：百萬元）與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下的對應數據：
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
（1）畫出散點圖；
（2）求y關于x的線性回歸方程.
（3）如果廣告費支出為一千萬元，預測銷售額大約為多少百萬元？
參考公式用最小二乘法求線性回歸方程系數公式：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對下列命題：
①直線
與函數
的圖象相交，則相鄰兩交點的距離為
；
②點
是函數的圖象的一個對稱中心；
③函數
在
上單調遞減，則
的取值范圍為
；
④函數
若
對
R恒成立，則
.
其中所有正確命題的序號為____
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數
對定義域內的每一個值
，在其定義域內都存在唯一的
，使
成立，則該函數為“依附函數”.
(1)判斷函數
是否為“依附函數”，并說明理由；
(2)若函數
在定義域
上“依附函數”，求
的取值范圍；
(3)已知函數
在定義域
上為“依附函數”.若存在實數
，使得對任意的
，不等式
都成立，求實數
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的焦點是橢圓
： 
（
）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設動點
， 
在橢圓
上，且
，記直線
在
軸上的截距為
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）
（k＞0）
（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx2+kx+3＞0的解集；
（2）若存在x＞3，使得f（x）＞1成立，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】推進垃圾分類處理，是落實綠色發展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰的重要環節．為了解居民對垃圾分類的了解程度某社區居委會隨機抽取1000名社區居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如表：
得分 | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
男性人數 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人數 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
（1）從該社區隨機抽取一名居民參與問卷測試試估計其得分不低于60分的概率：
（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）兩類，完成2×2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關？
不太了解 | 比較了解 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 |
（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取10人，現從這10人中隨機抽取3人作為環保宣傳隊長，設3人中男性隊長的人數為
，求的分布列和期望．
附：
．
臨界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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