Question

【題目】若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則該函數為“依附函數”.

(1)判斷函數是否為“依附函數”，并說明理由；

(2)若函數在定義域上“依附函數”，求的取值范圍；

(3)已知函數在定義域上為“依附函數”.若存在實數，使得對任意的，不等式都成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】(1)不是，理由見解析；(2)；(3).

【解析】

（1）舉出反例：取，但是不存在，即可判定；

（2）根據依附函數的關系，結合在遞增，故，即，，即可求得取值范圍；

（3）根據依附函數的關系結合單調性分析可得，將問題轉化為存在，使得對任意的，有不等式都成立，即關于t的不等式恒成立，即可求解.

(1)對于函數的定義域內存在，則，無解.

故不是“依附函數”；

(2)因為在遞增，故，

即，，

由，故，得，

從而在上單調遞增，故，

(3)①若，故在上最小值為0，此時不存在，舍去；

②若故在上單調遞減，從而，

解得（舍）或.從而，存在，使得對任意的，

有不等式都成立，

即恒成立，

由，得，

由，可得，

又在單調遞減，

故當時，，

從而，解得，

綜上，故實數的最大值為.