Question

已知橢圓E：的焦點坐標為（），點M（，）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設Q（1，0），過Q點引直線與橢圓E交于兩點，求線段中點的軌跡方程；

Answer 1

(1)  (2)．

試題分析：解: （Ⅰ）∵橢圓E: （a,b>0）經過M（-2，） ，一個焦點坐標為（）,
∴ ，橢圓E的方程為；     5分
（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線與橢圓E的兩個交點為A（），B（），相交所得弦的中點，∴ ，
①-②得，，
∴弦的斜率，
∵四點共線，∴，即，
經檢驗（0，0），（1，0）符合條件，
∴線段中點的軌跡方程是．    12分
點評：解決該試題的關鍵是對于性質的準確表示得到a,b,c的值，進而得到方程，同時聯立方程組結合韋達定理以及斜率公式求解得到軌跡方程，屬于中檔題。