Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為

2 5

5

，該橢圓的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點P(0，

5

3

)的直線l與橢圓交于M，N兩個不同的點，且使

QM

=4

QN

-3

QP

成立（Q為直線l外的一點）？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，直線AB的方程為bx+ay-ab=0（a＞b＞0），利用原點O到直線AB的距離為

2 5

5

，橢圓的離心率為

3

2

，建立方程，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據

QM

=4

QN

-3

QP

，可得

PM

=

PN

，再分類討論：當直線l的斜率不存在時，M（0，-1），N（0，1），符合條件，此時直線方程x=0；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+

5

3

，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量條件，即可確定不存在．

解答：解：（Ⅰ）由題意，直線AB的方程為bx+ay-ab=0（a＞b＞0）
∵原點O到直線AB的距離為

2 5

5

，該橢圓的離心率為

3

2

．
∴

|ab|

a2+b2

=

2 5

5

，

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）∵

QM

=4

QN

-3

QP

，∴

NM

=3

PN

①
當直線l的斜率不存在時，M（0，-1），N（0，1），符合條件，此時直線方程x=0；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+

5

3

，代入橢圓方程，消元可得
（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0，可得k2＞

4

9

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

120k

9+36k2

②，x₁x₂=

64

9+36k2

③，
由①得x₁=4x₂④，
由②③④消去x₁，x₂，可得

16

9+36k2

=

(24k)2

(9+36k2)2

∴9=0，矛盾
綜上，存在符合條件的直線l：x=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是直線與橢圓方程的聯立，利用韋達定理解題．