Question

如圖所示,半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.

Answer 1

旋轉所得到的幾何體的表面積為R² 體積是R³

如圖所示,過C作CO₁⊥AB于O₁,

在半圓中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO₁=R,
∴S_球=4R²,
=×R×R=R²,
=×R×R=R²,
∴S_幾何體表=S_球++
=R²+R²=R²,
∴旋轉所得到的幾何體的表面積為R².
又V_球=R³,=·AO₁·CO₁²=R²·AO₁
=BO₁·CO₁²=BO₁·R²
∴V_幾何體=V_球-（+）
=R³-R³=R³.