Question

（2010•溫州一模）已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F（0，1），且過點A（2，t），
（I）求t的值；
（II）若點P、Q是拋物線C上兩動點，且直線AP與AQ的斜率互為相反數，試問直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出這個值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）依照條件可知：拋物線過原點，且焦點在y軸上，設拋物線方程為x²=2py，利用焦點為F（0，1），可求得拋物線方程；
（II）當k_AP和k_AQ不存在時，P或Q其中一點與A重合，一點與A平行于X軸，其中一個斜率為0，一個為無窮大，不符合題意．
設直線AP的斜率為k，則AQ的斜率為-k，可得直線AP，AQ的方程，與拋物線方程聯立求得交點坐標，進而可求斜率，從而可得結論．

解答：解：（I）依照條件可知：拋物線過原點，且焦點在y軸上，設拋物線方程為x²=2py 
由條件焦點為F（0，1），得拋物線方程為x²=4y    …（3分）
∴把點A代入x²=4y，得t=1               …（6分）
（II）當K_AP和K_AQ不存在時，P或Q其中一點與A重合，一點與A平行于X軸，其中一個斜率為0，一個為無窮大，不符合題意．
設直線AP的斜率為k，AQ的斜率為-k，
則直線AP的方程為y-1=k（x-2），即y=kx-（2k-1）
聯立方程：

y=kx-(2k-1) x2=4y

消去y，得：x²-4kx+4（2k-1）=0             …（9分）
∵x_Ax_P=4（2k-1），A（2，1）
∴x_P=4k-2
∴y_P=4k²-4k+1
同理，得x_Q=-4k-2，y_Q=4k²+4k+1…（12分）
∴kPQ= 

yQ-yP

xQ-xP

=-1是一個與k無關的定值．…（15分）

點評：本題以拋物線的性質為載體，考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，應掌握定值問題的探究方法．