Question

已知向量

p

的模是

2

，向量

q

的模為1，

p

與

q

的夾角為

π

4

，

a

=3

p

+2

q

，

b

=

p

-

q

，則以

a

、

b

為鄰邊的平行四邊形的長度較小的對角線的長是

29

．

Answer 1

分析：以

a

、

b

為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線分別為

a

+

b

，

a

-

b

，分別求出他們的模，然后進行比較，即可得到結論．

解答：解：以

a

、

b

為鄰邊的平行四邊行的兩對角線之長可分別記為|

a

+

b

|，|

a

-

b

|
∵

a

+

b

=（3

p

+2

q

）+（

p

-

q

）=4

p

+

q

．

a

-

b

=（3

p

+2

q

）-（

p

-

q

）=2

p

+3

q

．…（4分）
∴|

a

+

b

|=|4

p

+

q

|=

(4 p +2 q ) 2

=

16 p 2+16 p • q +4  q 2

=

16×2+16×1+4×1

=2

13

．…（8分）
|

a

-

b

|=|2

p

+3

q

|=

(2 p +3 q )2

=

4 p 2+12 p • q +9 q 2

=

4×2+12×1+9×1

=

29

…（12分）
∵2

13

＞

29

．
故答案為：

29

．

點評：本題考查向量的運算法則：平行四邊形法則、向量的數量積的定義式以及向量的模計算公式．體現了數形結合的思想，同時也考查了學生應用知識分析解決問題的能力，此題是個中檔題．