Question

（2012•朝陽區二模）給出下列命題：p：函數f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；q：?x∈R，使得log₂（x+1）＜0；r：已知向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），則（

a

+

b

）∥

c

的充要條件是λ=-1．其中所有真命題是（　　）

A．q

B．p

C．p，r

D．p，q

Answer 1

分析：①p：利用倍角公式即可化為函數f（x）=sin⁴x-cos⁴x=-（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=-cos2x，再利用周期公式f（x）的最小正周期=

2π

2

即可判斷出；
②q：由log₂（x+1）＜0=log₂1，利用對數函數的單調性可得0＜x+1＜1，解出即可判斷出；
③r：向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），可得

a

+

b

=（λ-1，1+λ²），則（

a

+

b

）∥

c

的充要條件是-（1+λ²）-（λ-1）=0，解出即可判斷出．

解答：解：①p：函數f（x）=sin⁴x-cos⁴x=-（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=-cos2x，∴f（x）的最小正周期=

2π

2

=π，故正確；
②q：由log₂（x+1）＜0=log₂1，得0＜x+1＜1，解得-1＜x＜0，故?x∈R，使得log₂（x+1）＜0，因此正確；
③r：向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），∴

a

+

b

=（λ-1，1+λ²），則（

a

+

b

）∥

c

的充要條件是-（1+λ²）-（λ-1）=0，解得λ=-1或0，因此不正確．
綜上可知：只有p，q正確．
故選D．

點評：熟練掌握三角函數的倍角公式及周期性、對數函數的單調性、向量共線的充要條件是解題的關鍵．