Question

如圖23,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=α(定值),⊙O的圓心O在AB上,并分別與AC、BC相切于點P、Q.

圖23

(1)求∠POQ的大小;

(2)設D是CA延長線上的一個動點,DE與⊙O相切于點M,點E在CB的延長線上,試判斷∠DOE的大小是否保持不變,并說明理由.

Answer 1

思路分析:(1)利用OP⊥CD,OQ⊥CB找到∠PCQ與∠POQ的關系.?

(2)先設法尋求∠DOE與已知角的關系,利用OD平分∠CDE,OE平分∠CED,以及三角形內角和定理求解.

解:(1)∵AC =BC,∴∠OAP =∠OBQ =α.?

∵⊙O與AC、BC分別相切于P、Q,?

∴∠OPA =∠OQB =90°.?

∴∠AOP =∠BOQ = 90°-α.?

∴∠POQ =180°-2(90°-α)=2α.?

(2)∵⊙O內切于△CDE,　　

∴DO、EO分別平分∠CDE、∠CED.?

∴∠ODE =∠CDE,∠OED =∠CED.?

∴∠ODE +∠OED = (∠CDE +∠CED).?

又∠CDE +∠CED =180°-∠C,∠ODE+∠OED=180°-∠DOE,?

∴∠DOE =90°+∠C.?

∵∠C =180°-(∠CAB +∠CBA)=180°-2α,?

∴∠DOE =180°-α,即∠DOE為定值.