Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2

3

，AD=2

3

，AA₁=2．
求：
①BC和A₁C₁所成的角度是多少度？
②AA₁和B₁C₁所成的角是多少度？

Answer 1

分析：：①長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁C₁∥AC，知∠BCA是BC和A₁C₁所成的角，由此能求出BC和A₁C₁所成的角．
②由AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，能求出AA₁和B₁C₁所成的角．

解答：解：①長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB=2

3

，AD=2

3

，AA₁=2，
∴AC=

(2 3 )2+(2 3 )2

=2

6

，
∵A₁C₁∥AC，
∴∠BCA是BC和A₁C₁所成的角，
∵cos∠BCA=

(2 3 )2+(2 6 )2-(2 3 )2

2×2 3 ×2 6

=

2

2

，
∴∠BAC=45°，故BC和A₁C₁所成的角度是45°．
②∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁C₁，
∴AA₁和B₁C₁所成的角是90°．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎題．解題要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．