Question

已知函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4-x），且當x≠2時其導函數f′（x）滿足（x-2）f′（x）＞0，若2＜a＜4則（　　）

A．f（2^a）＜f（3）＜f（log₂a）

B．f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）

C．f（3）＜f（log₂a）＜f（2^a）

D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（3）

Answer 1

分析：由函數的性質得到函數的對稱軸，再由（x-2）f'（x）＞0得到函數的單調區間，由函數的單調性得到要證得結論．

解答：解：函數f（x）對定義域R內任意x都有f（x）=f（4-x），
即函數圖象的對稱軸是x=2
∵（x-2）f'（x）＞0
∴x＞2時，f'（x）＞0，x＜2時，f'（x）＜0
即 f（x）在（-∞，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增
∵2＜a＜4
∴1＜log2a＜2＜3＜4＜2a
∴f(log2a)＜f(3)＜f(2a)．
故選B．

點評：本題考查了導數的運算，考查了函數單調性的性質，是基礎的運算題．