Question

（2012•湖南）已知函數f（x）=e^ax-x，其中a≠0．
（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函數f（x）的圖象上取定兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立？若存在，求x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定a＞0，再求導函數，確定函數的單調性，可得x=

1

a

ln

1

a

時，f（x）取最小值f(

1

a

ln

1

a

)=

1

a

-

1

a

ln

1

a

故對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1，構建新函數g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt，確定函數的單調性，求出函數的最大值，由此即可求得a的取值集合；
（2）由題意知，k=

eax2-eax1

x2-x1

-1，構建新函數φ（x）=f′（x）-k=aeax-

eax2-eax1

x2-x1

，則φ(x1)=-

eax1

x2-x1

[ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1]，φ(x2)=

eax2

x2-x1

[ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1]，構建函數F（t）=e^t-t-1，從而可證明φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0，由此即可得到存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立．

解答：解：（1）若a＜0，則對一切x＞0，函數f（x）=e^ax-x＜1，這與題設矛盾，
∵a≠0，∴a＞0
∵f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0，可得x=

1

a

ln

1

a

令f′（x）＜0，可得x＜

1

a

ln

1

a

，函數單調減；令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

ln

1

a

，函數單調增，
∴x=

1

a

ln

1

a

時，f（x）取最小值f(

1

a

ln

1

a

)=

1

a

-

1

a

ln

1

a

∴對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1①
令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt
當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；當t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調遞減
∴t=1時，g（t）取最大值g（1）=1
∴當且僅當

1

a

=1，即a=1時，①成立
綜上所述，a的取值集合為{1}；
（2）由題意知，k=

eax2-eax1

x2-x1

-1
令φ（x）=f′（x）-k=aeax-

eax2-eax1

x2-x1

，則φ(x1)=-

eax1

x2-x1

[ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1]
φ(x2)=

eax2

x2-x1

[ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1]
令F（t）=e^t-t-1，則F′（t）=e^t-1
當t＜0時，F′（t）＜0，函數單調減；當t＞0時，F′（t）＞0，函數單調增；
∴t≠0時，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0
∴ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1＞0，ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1＞0
∵

eax1

x2-x1

＞0，

eax2

x2-x1

＞ 0
∴φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0
∴存在c∈（x₁，x₂），φ（c）=0
∵φ′（x）單調遞增，故這樣的c是唯一的，且c=

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

當且僅當x∈（

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

，x₂）時，f′（x）＞k
綜上所述，存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立，且x₀的取值范圍為（

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

，x₂）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查構建新函數確定函數值的符號，從而使問題得解．