Question

（2012•廣州一模）已知函數f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數，且圖象在點（e，f（g））處的切線斜率為3（為自然對數的底數）．
（1）求實數a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞l恒成立，求k的最大值；
（3）當m＞n＞l（m，n∈Z）時，證明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．
（注：本題第（2）（3）兩問只需要解答一問，兩問都答只計第（2）問得分）

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），從而可求b的值，利用圖象在點（e，f（e））處的切線斜率為3，可求a的值；
（2）當x＞l時，設g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求導函數，確定g（x）的最小值，即可求得k的最大值；
（3）要證：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要證nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，即

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

，構造函數φ（x）=

xlnx

x-1

，x＞1，證明φ（x）在（1，+∞）上為增函數即可．

解答：（1）解：f（x）是奇函數，所以f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
所以ln|-x+b|=ln|x+b|，從而b=0…（3分），
此時f（x）=ax+xln|x|，f'（x）=a+l+ln|x|…（4分），
依題意f'（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）解：當x＞l時，設g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

…（6分）
設h（x）=x-2-lnx，則h′(x)=1-

1

x

＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函數…（8分）
因為h（3）=l-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以?x₀∈（3，4），使h（x₀）=0…（10分），
x∈（1，x₀）時，h（x）＜O，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上為減函數；
同理g（x）在（x₀，+∞）上為增函數…（12分），
從而g（x）的最小值為g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0…（13分）
所以k＜x₀∈（3，4），k的最大值為3…（14分）．
（3）證明：要證：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要證nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即n（1-m）lnn＞m（l-n）lnm，

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

…（8分），
設φ（x）=

xlnx

x-1

，x＞1…（9分），則φ′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

…（10分）
設g（x）=x-l-lnx，則g′(x)=1-

1

x

＞0…（11分），g（x）在（1，+∞）上為增函數…（12分），
∴x＞1時，g（x）＞g（l）=l-l-lnl=0，從而φ′（x）＞O，φ（x）在（1，+∞）上為增函數…（13分），
因為m＞n＞l，所以φ（n）＜φ（m），

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

，所以（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，正確求導是關鍵．