Question

（2012•廣州一模）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組（每小組4人）在期末考試中的數學成績．乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以a表示．已知甲、乙兩個小組的數學成績的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙組四名同學數學成績的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數學成績之差的絕對值為X，求隨機變量X的分布列和均值（數學期望）．

Answer 1

分析：（1）根據甲、乙兩個小組的數學成績的平均分相同，建立方程，即可求得a的值；
（2）根據已知條件，可以求得兩組同學數學成績的平均分，進而可求乙組四名同學數學成績的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結果，求出兩名同學成績之差的絕對值X的所有可能取值，求出相應的概率，從而可得隨機變量X的分布列和均值

解答：解：（1）依題意，∵甲、乙兩個小組的數學成績的平均分相同
∴

1

4

×(87+89+96+96)=

1

4

×(87+90+a+93+95)，…（1分）
解得a=3．…（2分）
（2）根據已知條件，可以求得兩組同學數學成績的平均分都為

.

x

=92．…（3分）
所以乙組四名同學數學成績的方差為s2=

1

4

[(87-92)2+(93-92)2+(93-92)2+(95-92)2]=9．
…（5分）
（3）分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結果．…（6分）
這兩名同學成績之差的絕對值X的所有情況如下表：

	87	89	96	96
87	0	2	9	9
93	6	4	3	3
93	6	4	3	3
95	8	6	1	1

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，8，9．…（8分）
由表可得P(X=0)=

1

16

，P(X=1)=

2

16

，P(X=2)=

1

16

，P(X=3)=

4

16

，P(X=4)=

2

16

，P(X=6)=

3

16

，P(X=8)=

1

16

，P(X=9)=

2

16

．
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	6	8	9
P	1 16	2 16	1 16	4 16	2 16	3 16	1 16	2 16

隨機變量X的數學期望為EX=0×

1

16

+1×

2

16

+2×

1

16

+3×

4

16

+4×

2

16

+6×

3

16

+8×

1

16

+9×

2

16

=

68

16

=

17

4

．…（12分）

點評：本小題主要考查統計、方差、隨機變量的分布列、均值（數學期望）等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識．