Question

設非空集合S={x|m≤x≤l}，滿足：當x∈S時，有x²∈S．給出如下四個命題：
（1）若m=1，則S={1}；
（2）若l=1，則m的取值集合為[-1，l]；
（3）若m=-

1

2

，則l的取值集合為[

1

4

，1]；
（4）若l=

1

2

，則m的取值集合為[-

2

2

，0]；
其中所有正確命題的序號是

（1）（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：根據題中條件：“當x∈S時，有x²∈S”對三個命題一一進行驗證即可得出正確結果．

解答：解：由定義設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，知：
符合定義的參數m的值一定大于等于-1，
符合條件的l的值一定大于等于0，小于等于1，
惟如此才能保證l∈S時，有l²∈S，即l²≤l，正對各個命題進行判斷：
對于①：m=1，m²=1∈S，則

l2≤l l≥1

，得n=1，∴S={1}；
對于②：l=1，l²=1∈S，則

1≥m 1≥m2

，解得-1≤m≤1；
對于③：m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，則

l2≤l 1 4 ≤l

，解得

1

4

≤l≤1；
對于④：l=

1

2

，l2=

1

4

∈S，則

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

，解得-

2

2

≤m≤0．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．