Question

設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x²∈S．則下列三個命題中：
①若m=1，則S={1}；
②若m=-

1

2

，則

1

4

≤l≤1；
③若l=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0．
正確命題是

①②③

．

Answer 1

分析：根據題中條件：“當x∈S時，有x²∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①m=1，則

l2≤l 1 4 ≤l

；②若m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，則

l2≤l 1 4 ≤l

；對于③若l=

1

2

，S={x|m≤x≤

1

2

}，則

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個．

解答：解：由定義設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x²∈S知，符合定義的參數m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證m∈S時，有m²∈S即m²≥m，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證l∈S時，有l²∈S即l²≤l，正對各個命題進行判斷：
對于①m=1，m²=1∈，S故必有

l2≤l l≥1

，可得l=1，S={1}，即①正確；
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，則

l2≤l 1 4 ≤l

，解之可得

1

4

≤l≤1；故②正確；
③若l=

1

2

，則S={x|m≤x≤

1

2

}，則

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

，解之可得-

2

2

≤m≤0，
故正確的命題有：①②③
故答案為：①②③

點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．