Question

定義：若函數y=f（x）在某一區間D上任取兩個實數x₁、x₂，且x₁≠x₂，都有，則稱函數y=f（x）在區間D上具有性質L．
（1）寫出一個在其定義域上具有性質L的對數函數（不要求證明）．
（2）對于函數，判斷其在區間（0，+∞）上是否具有性質L？并用所給定義證明你的結論．
（3）若函數在區間（0，1）上具有性質L，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）寫出的函數是下凹的函數即可；
（2）函數在區間（0，+∞）上具有性質L．根據定義，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂
只需要證明＞0即可；
（3）任取x₁、x₂∈（0，1），且x₁≠x₂則＞0，只需要2-a•x₁•x₂（x₁+x₂）＞0在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，即，故可求實數a的取值范圍．
解答：解：（1）（或其它底在（0，1）上的對數函數）．…（2分）
（2）函數在區間（0，+∞）上具有性質L．…（4分）
證明：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂
則==
∵x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
∴（x₁-x₂）²＞0，2x₁•x₂（x₁+x₂）＞0
即＞0，
∴
所以函數在區間（0，+∞）上具有性質L．…（8分）
（3）任取x₁、x₂∈（0，1），且x₁≠x₂
則===
∵x₁、x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，
∴（x₁-x₂）²＞0，4x₁•x₂（x₁+x₂）＞0
要使上式大于零，必須2-a•x₁•x₂（x₁+x₂）＞0在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，
即，
∴a≤1，
即實數a的取值范圍為（-∞，1]…（14分）
點評：本題以函數為載體，考查新定義，考查恒成立問題，解題的關鍵是對新定義的理解，恒成立問題采用分離參數法．