Question

定義：若函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間D上任取兩個實數(shù)x₁、x₂，且x₁≠x₂，都有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有性質(zhì)L．
（1）寫出一個在其定義域上具有性質(zhì)L的對數(shù)函數(shù)（不要求證明）．
（2）對于函數(shù)f(x)=x+

1

x

，判斷其在區(qū)間（0，+∞）上是否具有性質(zhì)L？并用所給定義證明你的結(jié)論．
（3）若函數(shù)f(x)=

1

x

-ax2在區(qū)間（0，1）上具有性質(zhì)L，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）寫出的函數(shù)是下凹的函數(shù)即可；
（2）函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上具有性質(zhì)L．根據(jù)定義，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂
只需要證明

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)＞0即可；
（3）任取x₁、x₂∈（0，1），且x₁≠x₂則

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)＞0，只需要2-a•x₁•x₂（x₁+x₂）＞0在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，即a＜

2

x1•x2(x1+x2)

，故可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）y=log

1

2

x（或其它底在（0，1）上的對數(shù)函數(shù)）．…（2分）
（2）函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上具有性質(zhì)L．…（4分）
證明：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂
則

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

(x1+

1

x1

+x2+

1

x2

)-(

x1+x2

2

+

2

x1+x2

)=

1

2

•

x1+x2

x1•x2

-

2

x1+x2

=

(x1+x2)2-4x1•x2

2x1•x2(x1+x2)

=

(x1-x2)2

2x1•x2(x1+x2)

∵x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
∴（x₁-x₂）²＞0，2x₁•x₂（x₁+x₂）＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)＞0，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
所以函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上具有性質(zhì)L．…（8分）
（3）任取x₁、x₂∈（0，1），且x₁≠x₂
則

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

(

1

x1

-ax12+

1

x2

-ax22)-(

2

x1+x2

-a(

x1+x2

2

)2)=

(x1-x2)2

2x1•x2(x1+x2)

-a•

(x1-x2)2

4

=(x1-x2)2•

[2-a•x1•x2(x1+x2)]

4x1•x2(x1+x2)

∵x₁、x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，
∴（x₁-x₂）²＞0，4x₁•x₂（x₁+x₂）＞0
要使上式大于零，必須2-a•x₁•x₂（x₁+x₂）＞0在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，
即a＜

2

x1•x2(x1+x2)

，
∴a≤1，
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]…（14分）

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查新定義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對新定義的理解，恒成立問題采用分離參數(shù)法．