Question

已知不垂直于x軸的動直線l交拋物線y²=2mx（m＞0）于A、B兩點，若A、B兩點滿足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原點O為PQ的中點．
①求證：A、P、B三點共線；
②當m=2時，是否存在垂直于x軸的直線l′，使得l′被以AP為直徑的圓所截得的弦長為定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①先根據∵∠AQP=∠BQP且顯然是銳角得到tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，從而得到點A，B之間的關系，再求出直線AP與PB的斜率即可證明結論；
②設出直線方程以及點A的坐標和以AP為直徑的圓心C圓心坐標；再求出對應弦長，即可求出結論．
解答：解：①證明：由題意可設A（，y₁）：B（，y₂），P（4，0）．
∵∠AQP=∠BQP且顯然是銳角
∴tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，
即⇒y₁y₂（y₁+y₂）=-8m（y₁+y₂）．
∵L不垂直于x軸，
∴y₁+y₂≠0，y₁y₂=-8m．
∴k_AP===，
∵k_BP==k_AP
∴A，P，B三點共線．
②假設滿足題意l^′的存在，設l^′：x=n，A（x₁，y₁），則y₁²=4x₁，
∴以AP為直徑的圓心C（，），
則l^′被圓C截得的弦長=2=2．
當n=3時，弦長為定值2．
故存在滿足題意的直線l^′：x=3．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高