Question

已知不垂直于x軸的動直線l交拋物線y²=2mx（m＞0）于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)滿足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原點(diǎn)O為PQ的中點(diǎn)．
①求證：A、P、B三點(diǎn)共線；
②當(dāng)m=2時，是否存在垂直于x軸的直線l′，使得l′被以AP為直徑的圓所截得的弦長為定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①先根據(jù)∵∠AQP=∠BQP且顯然是銳角得到tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，從而得到點(diǎn)A，B之間的關(guān)系，再求出直線AP與PB的斜率即可證明結(jié)論；
②設(shè)出直線方程以及點(diǎn)A的坐標(biāo)和以AP為直徑的圓心C圓心坐標(biāo)；再求出對應(yīng)弦長，即可求出結(jié)論．

解答：解：①證明：由題意可設(shè)A（

y12

2m

，y₁）：B（

y22

2m

，y₂），P（4，0）．
∵∠AQP=∠BQP且顯然是銳角
∴tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，
即

y1

y12 2m +4

=-

y2

y22 2m +4

?y₁y₂（y₁+y₂）=-8m（y₁+y₂）．
∵L不垂直于x軸，
∴y₁+y₂≠0，y₁y₂=-8m．
∴k_AP=

y1

y12 2m -4

=

2my1

y12-8m

=

-2m• 8m y2

64m2 y22 -8m

=

2my2

y22-8m

，
∵k_BP=

y2

y22 2m -4

=

2my2

y22-8m

=k_AP
∴A，P，B三點(diǎn)共線．
②假設(shè)滿足題意l^′的存在，設(shè)l^′：x=n，A（x₁，y₁），則y₁²=4x₁，
∴以AP為直徑的圓心C（

x1+4

2

，

y1

2

），
則l^′被圓C截得的弦長=2

1 4 [(x1-4)2+y12] -( x1+4 2 -n)2

=2

(n-3)x1+4n-n2

．
當(dāng)n=3時，弦長為定值2

3

．
故存在滿足題意的直線l^′：x=3．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高