Question

【題目】如圖,四棱錐的底面為菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=,E為PC的中點.

(1)求直線DE與平面PAC所成角的大小；

(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值；

(3)在線段PC上是否存在一點M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的長；如果不存在,請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）

【解析】

（1）連接AC,BD交于O，連接EO，可證明DO是平面PAC的垂線，即可得到

線面角為，解三角形即可求解（2）作交AD于F, 連接EF，可證明就是二面角E-AD-C的平面角，解三角形即可求解（3）過O作于M，可證明PC⊥平面MBD成立，根據中位線確定M點位置，即可求出CM的長.

（1） 連接AC,BD,

則由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC,

又由底面ABCA為菱形可得BD⊥AC于O，

平面PAC.

連接OE，則OE為DE在平面PAC上的射影，

即為DE與平面PAC所成的角.

E為PC中點可得,

由菱形性質可得，在中，

，

在中，，

.

（2）因為，PA⊥底面ABCD，

所以底面ABCD，

作交AD于F, 連接EF,

則，

所以就是二面角E-AD-C的平面角，

由ABCD是菱形，且，得，

又，

在中，.

（3）過O作于M,

則由PA⊥底面ABCD可得平面PAC⊥底面ABCD于AC,

又底面ABCD，

平面PAC

,

而由平面PAC且，

可得平面MBD

故在線段PC上存在一點M,使PC⊥平面MBD成立，

此時，所以M是CE的中點，

故

在可解得，所以,

在中，

所以.