Question

設集合A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，其中a_i∈Z，1≤i≤5，且滿足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，a₁+a₄=10，A∩B={a₁，a₄}，A∪B中所有元素之和為224，則集合A=

{1，3，4，9，10}

．

Answer 1

分析：根據條件a₁+a₄=10，A∩B={a₁，a₄}，先確定a₁=1，a₄=9．然后根據A∪B中所有元素之和為224，結合條件a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，分別進行討論．

解答：解：∵a₁+a₄=10，A∩B={a₁，a₄}，∴兩個完全平方數的和為10，即a₁=1，a₄=9．
∵A∪B中所有元素之和為224，
∴a2+a3+a5+

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+

a

2 4

+

a

2 5

=224，
而

a

2 1

+

a

2 4

=82，
∴a2+a3+a5+

a

2 2

+

a

2 3

+

a

2 5

=142，
∵a₄=9＜a₅，若a₅=11，則a2+a3+

a

2 2

+

a

2 3

=10，不可能．
∴a₅=10，a2+a3+

a

2 2

+

a

2 3

=32，
若

a

2 3

=a4=9，得a2+

a

2 2

=20，
∴a₂=4＞a₃矛盾，從而a₂=3，a₃=4，
即A={1，3，4，9，10}．

點評：本題主要考查利用集合關系分別判斷元素取值的問題，綜合性較強，考查學生的推理和分析能力．