Question

已知圓C₁：x²+y²+D₁x+8y-8=0，圓C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0．
（1）若D₁=2，D₂=-4，求圓C₁與圓C₂的公共弦所在的直線l₁的方程；
（2）在（1）的條件下，已知P（-3，m）是直線l₁上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線與圓C₁、圓C₂相切，切點(diǎn)為A、B，求證：|PA|=|PB|；
（3）將圓C₁、圓C₂的方程相減得一直線l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直線l₂上，且在圓C₁、圓C₂外部的任意一點(diǎn)．過點(diǎn)Q分別作直線QM、QN與圓C₁、圓C₂相切，切點(diǎn)為M、N，試探究|QM|與|QN|的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程．
（2）求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求出兩個(gè)切線長即可證明結(jié)果．
（3）求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)與半徑，利用切線長與半徑的垂直關(guān)系，比較|QM|與|QN|的關(guān)系．
解答：解：（1）由題意，∵D₁=2，D₂=-4，
∴圓C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0相交，
∴兩圓的方程作差得6x+12y-6=0，
即公式弦所在直線方程為x+2y-1=0．
（2）P（-3，m）是直線l₁上一點(diǎn)，所以m=2
過點(diǎn)P分別作直線與圓C₁、圓C₂相切，切點(diǎn)為A、B，
圓C₁的圓心坐標(biāo)（-1，-4），半徑為：5；
圓C₂的圓心坐標(biāo)（2，2），半徑為：．
所以PA²=（-1+3）²+（-4-2）²-25=15．
PB²=（2+3）²+（2-2）²-10=15．
所以|PA|=|PB|；
（3）圓C₁x²+y²+D₁x+8y-8=0，圓心坐標(biāo)（，-4），半徑為：；
圓C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0，圓心坐標(biāo)（，2），半徑為：．
直線l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直線l₂上，設(shè)Q（），
|QM|²=與|QN|²=，
|QM|²-|QN|²=，
當(dāng)時(shí)，|QM|=|QN|，
當(dāng)時(shí)，|QM|＞|QN|，
當(dāng)時(shí)，|QM|＜|QN|．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用與圓的位置關(guān)系，考查發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力．