Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點M到點F（1，0）的距離比它到y軸的距離多1，記點M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）設斜率為k的直線l過定點P（﹣2，1），求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），依題意得：|MF|=|x|+1，即 ，

化簡得，y2=2|x|+2x．

∴點M的軌跡C的方程為 ；

（2）解：在點M的軌跡C中，記C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．

依題意，可設直線l的方程為y﹣1=k（x+2）．

由方程組 ，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．

①當k=0時，此時y=1，把y=1代入軌跡C的方程，得 ．

故此時直線l：y=1與軌跡C恰好有一個公共點（ ）．

②當k≠0時，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判別式為△=﹣16（2k2+k﹣1）．

設直線l與x軸的交點為（x0，0），

則由y﹣1=k（x+2），取y=0得 ．

若 ，解得k＜﹣1或k＞ ．

即當k∈ 時，直線l與C1沒有公共點，與C2有一個公共點，

故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點．

若 或 ，解得k=﹣1或k= 或 ．

即當k=﹣1或k= 時，直線l與C1只有一個公共點，與C2有一個公共點．

當 時，直線l與C1有兩個公共點，與C2無公共點．

故當k=﹣1或k= 或 時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點．

若 ，解得﹣1＜k＜﹣ 或0＜k＜ ．

即當﹣1＜k＜﹣ 或0＜k＜ 時，直線l與C1有兩個公共點，與C2有一個公共點．

此時直線l與C恰有三個公共點．

綜上，當k∈ ∪{0}時，直線l與C恰有一個公共點；

當k ∪{﹣1， }時，直線l與C恰有兩個公共點；

當k∈ 時，直線l與軌跡C恰有三個公共點．

【解析】（1）設出M點的坐標，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；（2）設出直線l的方程為y﹣1=k（x+2），和（1）中的軌跡方程聯立化為關于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y﹣1=k（x+2）中取y=0得到 ．然后分判別式小于0、等于0、大于0結合x0＜0求解使直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍．