Question

例1．a、b、c≥0，求證a³+b³+c³≥3abc．

Answer 1

證明：∵a³+b³=（a+b）（a²+b²-ab）≥（a+b）ab （當且僅當a=b時“=”成立）
b³+c³=（b+c）（b²+c²-bc）≥（b+c）bc （當且僅當b=c時“=”成立）
c³+a³=（a+c）（c²+a²-ca）≥（c+a）ca （當且僅當c=a時“=”成立）
∴2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²
=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²）
≥2abc+2abc+2abc=6abc．（當且僅當a=b=c時“=”成立）
∴a³+b³+c³≥3abc．