Question

17、例1．a(chǎn)、b、c≥0，求證a³+b³+c³≥3abc．

Answer 1

分析：先將不等式的左側(cè)分解為三個(gè)立方和的形式，根據(jù)立方和公式展開，第一次使用基本不等式x²+y²≥2xy，再將三個(gè)式子相加，合理分組后，第二次使用基本不等式x²+y²≥2xy，化簡(jiǎn)整理后，即可得到要證的結(jié)論．

解答：證明：∵a³+b³=（a+b）（a²+b²-ab）≥（a+b）ab （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立）
b³+c³=（b+c）（b²+c²-bc）≥（b+c）bc （當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)“=”成立）
c³+a³=（a+c）（c²+a²-ca）≥（c+a）ca （當(dāng)且僅當(dāng)c=a時(shí)“=”成立）
∴2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²
=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²）
≥2abc+2abc+2abc=6abc．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)“=”成立）
∴a³+b³+c³≥3abc．

點(diǎn)評(píng)：本題兩次使用了基本不等式x²+y²≥2xy（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)“=”成立），要特別注意等號(hào)成立的條件．