Question

．設函數f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R^*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函數，求a的取值范圍；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．

Answer 1

(1)由f(x)在(0,1]上為增函數，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值時由(1)的結論可對a分類討論，分0<a≤及a>兩種情況，當0<a≤時，由(1)知f(x)在(0,1]上為增函數，可求最大值，當a>時，可由導數求f(x)在(0,1]上的極大值點．
[解析]　(1)f′(x)＝－a·＋1.
因為f(x)在(0,1]上是增函數，
所以f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立，
即a≤＝在(0,1]上恒成立，
而在(0,1]上的最小值為，
又因為a∈R^*，所以0<a≤.
(2)由(1)知：①當0<a≤時，f(x)在(0,1]上是增函數，所以f(x)_max＝f(1)＝(1－)a＋1；
②當a>時，令f′(x)＝0，得x＝∈(0,1]，
因為當0<x<時，f′(x)>0，
當<x≤1時，f′(x)<0，
所以f(x)在點x＝處取得極大值，
即為f＝＋a
＝＋a＝a－，
故f(x)_max＝a－.
綜上，當0<a≤時，f(x)_max＝(1－)a＋1；
當a>時，f(x)_max＝a－.
[點評]　①已知f(x)在[a，b]上單調遞增(或單調遞減)可推得x∈[a，b]時，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，求單調區間時，令f′(x)>0(或f′(x)<0)．②求f(x)的最大值時，要比較端點處函數值與極值的大小．當f′(x)的符號不確定時，可對待定系數進行分類討論．

略