Question

下列命題中正確的有

（3）（5）

（填正確命題的序號）．
（1）空集是任意集合的真子集；
（2）若f（1）+f（-1）=0，則函數f（x）是奇函數；
（3）函數y=(

1

2

)-x 的反函數為y=log₂x；
（4）函數y=f（x）是區間（a，b）上的增函數，則函數y=2012f（x）-

2012

f(x)

也是區間（a，b） 上的增函數；
（5）若函數f （x）滿足f（-x）=f（x），且當x∈[0，+∞）時f（x）=x²+2x-2，則關于x不等式f（x-1）＜1的解集為（0，2）．

Answer 1

分析：對于（1）空集是任何非空集合的真子集進行判定，對于（2）根據奇函數的定義進行判定，對于（3）根據反函數的求法進行判定，對于（4）舉反例進行判定即可，對于（5）利用偶函數圖象關于y軸對稱，所以只需求出[0，+∞]內的范圍，再根據對稱性寫出解集進行判斷．

解答：解：（1）空集是任何非空集合的真子集，故（1）不正確；
（2）根據奇函數的定義，對函數f（x）的定義域中的任一x的值，都有f（x）+f（-x）=0，條件f（1）+f（-1）=0并不能保證對定義域中任意x都有f（x）+f（-x）=0成立，故函數f（x）并不一定是奇函數，故（2）錯誤；
（3）函數y=(

1

2

)-x=2^x的反函數為y=log₂x；（3）正確；
（4）舉反例如下：若f（x）=x在（-1，1）是增函數，但當x=0時，f（x）=0，函數y=2012f（x）-

2012

f(x)

無意義，故（4）不正確；
（5）當x∈[0，+∞]時f（x）＜1則0≤x＜1 又∵偶函數關于y軸對稱．∴f（x）＜1的解集為{x|-1＜x＜1}，則關于x不等式f（x-1）＜1的解集為：-1＜x-1＜1，⇒x∈（0，2）．故（5）正確．
故答案為：（3）（5）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，奇偶函數圖象的對稱性，反函數的等知識，注意應用舉反例的方法否定結論，以便于判斷真假．