Question

下列命題中正確的有

③④

．（填上所有正確命題的序號）
①若f'（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀取得極值；
②若∫_a^bf（x）dx＞0，則f（x）＞0在[a，b]上恒成立；
③已知函數f（x）=

-x2+2x

，則∫₀¹f（x）dx的值為

π

4

；
④一質點在直線上以速度v=t²-4t+3（m/s）運動，從時刻t=0（s）到t=4（s）時質點運動的位移為

4

3

（m）

Answer 1

分析：根據函數極值的定義，結合舉反例得到①是錯誤的；根據積分的含義和有關公式，通過舉出反例得到②是錯誤的；利用換元積分的方法，根據有關積分公式結合三角換元，計算得到③是正確的；根據積分的物理意義，質點的位移應該等于速度函數在某個時間段上的積分的值，利用積分公式可以通過計算，得到④是正確的．

解答：解：對于①，若f'（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀不一定取得極值，
比如函數f（x）=x³，它的導數為f'（x）=3x²，在x=0處滿足f'（0）=0，
但函數f（x）是R上的增函數，在x=0處不能取得極值，故①錯誤；
對于②，若∫_a^bf（x）dx＞0，則f（x）＞0在[a，b]上不一定恒成立，
比如f（x）=x，∫_-1²f（x）dx=(

1

2

x2 +c)

|

2 -1

=(

1

2

×22+c)-[

1

2

×(-1)2+c] =

3

2

，其中c為常數，
滿足∫_-1²f（x）dx＞0，但f（x）在[-1，2]上有正有負，故②錯誤；
對于③已知函數f（x）=

-x2+2x

=

1-(x-1)2

令x-1=cosα，則x=1+cosα，
其中

π

2

≤α≤π，x=0對應α=π，x=1對應α=

π

2

∴∫₀¹f（x）dx=-∫

π

2

π

1-cos2α

dcosα=-∫

π

2

πsinα(cosα)/dα
=∫

π

2

π(sin2α) dα=∫

π

2

π

1-cos2α

2

dα=(

1

2

α-

1

4

sin2α+c)

|

π 0.5π

=(

π

2

-

1

4

sin2π+c)-(

π

4

-

1

4

sinπ+c) =

π

4

，其中c為常數，
所以∫₀¹f（x）dx的值為

π

4

，故③正確；
對于④，一質點在直線上以速度v=t²-4t+3（m/s）運動，
從時刻t=0（s）到t=4（s）時質點運動的位移等于：
∫₀⁴v（t）dt=(

1

3

t3-2t2+3t+c)

|

0 4

=(

1

3

×43-2×42+3×4+c)-(

1

3

×03-2×02  +3×0+c)=

4

3

，其中c為常數，
從時刻t=0（s）到t=4（s）時質點運動的位移為

4

3

（m），故④正確．
故答案為：③④

點評：本題借助于命題真假的判斷與應用，著重考查了函數的導數與極值之間的關系、積分的有關公式和積分的物理意義等知識點，屬于中檔題．