Question

【題目】已知函數f（x）=（ax2+x﹣1）ex ， 其中e是自然對數的底數，a∈R．
（Ⅰ）若a=1．求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a=﹣1，函數f（x）的圖象與函數g（x）=x3+x2+m的圖象有3個不同的交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+x﹣1）ex ，
∴f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x﹣1）ex=（x2+3x）ex ．
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣e=4e（x﹣1），
即4ex﹣y﹣3e=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2+m）
則h′（x）=（﹣2x+1）ex+（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x2+x）
=﹣（ex+1）（x2+x）
令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1．
∴h（x）在x=﹣1處取得極小值h（﹣1）=﹣﹣﹣m，在x=0處取得極大值h（0）=﹣1﹣m，
∵函數f（x），g（x）的圖象有三個交點，即函數h（x）有3個不同的零點，
∴即，
解得：﹣﹣＜m＜﹣1．
【解析】（Ⅰ）求出導數，求出切線的斜率，切點，運用點斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出導數，求出單調區間，和極值，函數f（x），g（x）的圖象有三個交點，即函數h（x）有3個不同的零點，即有h（﹣1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．