Question

已知直線l：y=kx，圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l交圓于P、Q兩點，點M（0，b）滿足MP⊥MQ．
（I）當b=1時，求k的值；
（II）若k＞3時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當b=1時，代入到圓方程可發(fā)現(xiàn)點M（0，1）在圓上．又MP⊥MQ，所以P、Q比在圓直徑上，即可得圓心一定在直線l上，代入即可得到答案．
（2）先設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0.

可得到兩根之和、兩根之積的關系式，再根據(jù)MP⊥MQ，即

MP

•

MQ

=0，可得x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，代入可得答案．

解答：解：（1）∵C：x²+y²-2x-2y+1=0∴b=1時，點M（0，1）在圓上．又MP⊥MQ，圓心（1，1）在直線直線l：y=kx上，故k=1
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程組，

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0.

?（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，?x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

．
∵MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴(1+k2)

1

1+k2

-kb

2(1+k)

1+k2

+b2=0.
當b=0時，此式不成立，
從而b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

=2+

2(k-1)

(k-1)2+2(k-1)+2

.．
又∵k＞3，令t=k-1＞2，∴b+

1

b

=2+

2

t+ 2 t +2

.
令函數(shù)g(t)=t+

2

t

+2，當t＞2時，g′(t)=1-

2

t2

＞0，g（t）＞5，從而2＜b+

1

b

＜

12

5

.
解此不等式，可得

6- 11

5

＜b＜1或1＜b＜

6+ 11

5

.

點評：本題主要考查直線和圓的方程的有關問題．一般思路將直線方程和圓方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積，再代入有關關系式即可．