Question

已知直線l：y=kx-1與雙曲線C：x²-y²=4
（1）如果l與C只有一個公共點，求k的值；
（2）如果l與C的左右兩支分別相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且|x1-x2|=2

5

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先聯立方程，消元后得到一個方程，分類討論①二次項系數不為0且判別式等于零，②二次項為0兩種情況討論
（2）由弦長公式可得x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2k 1-k2 )2-4• -5 1-k2

，結合已知可求k

解答：解：（1）根據題意：

y=kx-1 x2-y2=4

消去y整理得（1-k²）x²+2kx-5=0，
①當1-k²≠0時，由題意可知，△=0，即4k²+20（1-k²）=0
∴k=±

5

2

②當1-k²=0即k=±1時，方程（1-k²）x²+2kx-5=0，有一個根即直線與雙曲線有一個公共點，滿足條件
綜上可得，k=±1，或k=±

5

2

（2）由直線l與C的左右兩支分別相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，可得x₁＜0，x₂＞0
∵|x1-x2|=2

5

∴x2-x1=2

5

∵x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2k 1-k2 )2-4• -5 1-k2

=2

5

整理可得k²（5k²-6）=0
∴k=0或k=±

30

5

點評：本題主要考查直線與雙曲線的位置關系，直線與曲線相交的弦長的求解，在只有一個公共點時，不要忽視了與漸近線平行的情況．