Question

【題目】已知拋物線，直線（）與交于兩點，為的中點，為坐標原點．

（1）求直線斜率的最大值；

（2）若點在直線上，且為等邊三角形，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

解法一：（1）設兩點坐標，將直線方程與拋物線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系、根的判別式、中點坐標公式求出的坐標，最后根據斜率公式，結合基本不等式進行求解即可；

（2）利用弦長公式求出等邊三角形的邊長，最后利用等邊三角形的性質，得到方程，求解方程即可求出點的坐標．

解法二：（1）設出兩點的坐標，根據點在拋物線上，得到兩個方程，再利用兩點在直線上、中點坐標公式求出的坐標，最后根據斜率公式，結合基本不等式進行求解即可；

（2）將直線方程與拋物線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系、根的判別式、兩點間距離公式求出等邊三角形的邊長，最后利用等邊三角形的性質，得到方程，求解方程即可求出點的坐標．

解法一：（1）設，

由，消去得，，

且．

所以

因為為的中點，

所以的坐標為，即，

又因為，所以，

（當且僅當，即等號成立．）

所以的斜率的最大值為；

（2）由（1）知，

，

由得，

因為為等邊三角形，所以，

所以，

所以，所以，解得

又，所以，

則，直線的方程為，即，

所以時，，

所以所求的點的坐標為．

解法二：（1）設，

因為為的中點，且直線，

所以因為，，兩個等式相減得：

由得

所以所以即．

所以即，

又因為，所以，

（當且僅當，即等號成立．）

所以的斜率的最大值為．

（2）由，消去得，

所以且．

，

由（1）知，的中點的坐標為，

所以線段的垂直平分線方程為：．

令，得線段的垂直平分線與直線交點坐標為

所以．

因為為等邊三角形，所以，

所以，

所以，所以，解得

因為所以，

則，直線的方程為，即，

所以時，，

所以所求的點的坐標為．