Question

【題目】過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線恰好經(jīng)過橢圓C：的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

（1）求橢圓C方程；

（2）過橢圓C左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形，求直線l的方程。

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）由題意可設(shè)切線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑確定斜率的值可得切線方程，據(jù)此確定點(diǎn)N的坐標(biāo)為，從而可得橢圓方程；

（2）①k不存在或k=0時，在橢圓上不存在點(diǎn)P使得四邊形OAPB為平行四邊形,

②當(dāng)k存在且不為0時，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合題意和韋達(dá)定理確定直線的斜率即可確定直線l的方程.

（1）過作圓的兩條切線，一條切線方程為y=1，切點(diǎn)為M（0，1）.

設(shè)另一條切線為，即，

由直線與圓相切，有：，

，解得k=0(舍去)或.

故切線方程為，

由可得：.

可得直線MN的方程為.

由上可知，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），右頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

所以橢圓C的方程為.

（2）①k不存在或k=0時，在橢圓上不存在點(diǎn)P使得四邊形OAPB為平行四邊形,

②當(dāng)k存在且不為0時，設(shè)點(diǎn)，

設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），

聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得：，

故，

若四邊形OAPB為平行四邊形，則有：

，

.

又點(diǎn)P在橢圓上，則有，

整理得.

∴直線的方程為.