Question

設橢圓的兩個焦點是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點P，使得直線PF₁與直線PF₂垂直．
（I）求實數m的取值范圍．
（II）設l是相應于焦點F₂的準線，直線PF₂與l相交于點Q．若，求直線PF₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線PF₁⊥直線PF₂推斷以O為圓心以c為半徑的圓與橢圓有交點，兩個方程聯立，表示出x²，進而根據0≤x²＜a²確定m的范圍．
（2）設P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c），根據直線l的方程求得點Q的坐標，根據可推斷出點P分有向線段所成比為，進而根據Q和F₂的坐標求得點P的坐標，代入橢圓方程求得k，直線PF₂的方程可得．
解答：解：（1）∵直線PF₁⊥直線PF₂
∴以O為圓心以c為半徑的圓：x²+y²=c²與橢圓：有交點．即有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴
∴m≥1
（2）設P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c）
∵直線l的方程為：
∴點Q的坐標為（）
∵
∴點P分有向線段所成比為
∵F₂（，0），Q（）
∴P（）
∵點P在橢圓上∴
∴
直線PF₂的方程為：y=（x-）．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．